Verhoudingen deel I: Introductie

De oorsprong van de Westerse proportiesystemen

Egypte en Babylon

3000 v.Chr.

Hier vinden we de eerste voorbeelden van een strikt mathematische ordening. Hoe is het verschijnsel te verklaren dat kunstenaars en architecten geometrische piramiden, tempels en grafkamers bouwden? Zij waren ongetwijfeld gebonden aan zorgvuldig uitgewerkte regels en voorschriften, die ze niet mochten en niet wilden breken. In deze tijd was het intellectuele leiderschap in handen van een priesterkaste. Zij waren het die de rituelen en ceremonies leidden, en de gebouwen moesten voldoen aan de regels die zij vaststelden. Omdat alle grote kunst van die tijd sacrale kunst was, weerspiegelde ze de kosmische orde die door priesters werd geduid en bewaakt.

De Grieken

750 v.Chr. - 500 na Chr.

In de opkomende beschavingen van de Griekse stadstaten, met name die van Athene, treffen we een nieuwe klasse van vrije burgers aan. Zij waren door middel van rationeel onderzoek het universum aan het doorgronden - het waren de Grieken die de wiskunde uitbouwden tot een theoretische wetenschap en die de eerste pogingen deden de natuur langs mathematische wegen te verklaren. Dit maakte het ontstaan van de westerse beschaving mogelijk.

Pythagoras

Rond 550 v.Chr. had Pythagoras de meetkunde uitgebouwd tot een theoretische wetenschap. Waarschijnlijk heeft Pythagoras in aansluiting op Egyptische tradities zijn theoretische bevindingen toegepast op natuurlijke verschijnselen waarbij hij zeer bijzondere verhoudingen en een vrije regelmaat ontdekte. Zijn waarnemingen brachten hem tot de overtuiging dat bepaalde verhoudingen en proporties de absolute waarheid met betrekking tot de harmonische opbouw van de wereld belichaamden. Zijn observatie dat muzikale samenklanken berusten op vaste en onveranderlijke verhoudingen van de snaren van een muziekinstrument bevestigde hem in deze overtuiging.

Plato

In het voetspoor van Pythagoras ondernam Plato een poging de ordening van de wereld - een volkomen mathematische wereld - te verklaren. Hij legde dit vast in Timaeus, en dit laat nog steeds zijn invloed gelden. Alle Europese proportiestelsels bouwden in meerdere of mindere mate voort op de pythagoreïsch-platonische traditie en Timaeus werd veel bestudeerd. De kern van de bleef behouden in alle belangrijke middeleeuwse en renaissance handboeken. Plato stelde zich in Timaeus voor dat alle materie is opgebouwd uit vijf regelmatige lichamen, er zijn namelijk niet meer dan vijf ruimtelijke vormen mogelijk met gelijke zijden, gelijke vlakken en gelijke hoeken. Hij verbindt deze ruimtelijke vormen ook met één van de vier elementen. Hij kende aan al deze vormen een diepe, zelfs mystieke betekenis toe.

Ruimtelijke vorm		Element	Samenstelling
Viervlak	Tetraëder	Vuur	Gelijkzijdige driehoeken
Kubus	Hexaëder	Aarde	Vierkanten: diagonaal driehoek
Achtvlak	Octoëder	Lucht	Gelijkzijdige driehoeken
Twaalfvlak	Dodecaëder	Luchtruim	Vijfhoeken opgebouwd uit gelijkbenige driehoeken
Twintigvlak	Isosaëder	Water	Gelijkzijdige driehoeken

Euclides

250 jaar na Pythagoras heeft Euclides het werk van Pythagoras samengevat en gesystematiseerd. Wat Euclides aanduidde als 'een lijn snijden in haar uiterste en middelste delen', en wat Plato voor hem eenvoudigweg aanduidde als de 'snede', is wat wij tegenwoordig de gulden snede noemen.

De Middeleeuwen

500 - 1500

In de geschiedenis van de Europese kunst zijn er twee proportiestelsels gehanteerd:

1. Gehele getallen en eenvoudige breuken;
2. Elementaire geometrische figuren.

In de Middeleeuwen verkoos met het tweede, geometrische type. Er kan dus gezegd worden dat de gelijkzijdige driehoek, het vierkant en de vijfhoek hoekstenen de middeleeuwse esthetiek vormden. Al mogen we aannemen dat de middeleeuwse bouwers zich hoogstwaarschijnlijk niet bewust waren van de kosmische lading die de Timaeus eraan toedichtte, toch konden zij zich van hun werk geen voorstelling maken die los stond van een van deze elementaire geometrische vormen. De Renaissance wordt gekenmerkt door de voorkeur voor het eerste, rekenkundige proportiemodel.

De tijdsgeest van de Middeleeuwen

Kunstenaars van het de Middeleeuwen hechtten zo'n groot belang aan de geometrische vormen dat zij ze geen moment uit het oog verloren, zelfs niet als zij een gebruiksvoorwerp ontwierpen. De middeleeuwse kunstenaar probeert een vooraf bepaalde geometrische norm te projecteren op zijn beeldentaal.

,,Het is onmogelijk de natuur te kennen zonder geometrie. De principes van de geometrie hebben absolute geldigheid in heel het universum en voor elk van de delen daarvan. Lijnen, hoeken en geometrische figuren zijn het, waarmee we alle natuurlijke verschijnselen moeten verklaren’’, Robert Gosseteste

We kunnen deze stelling nog aanvullen met de middeleeuwse conceptie van de relatie tussen de vooraf bepaalde vorm en de voorstelling die de mens zich daarvan maakt:

,,De vorm (en we mogen dat nu vertalen als: de vooraf bepaalde geometrische vorm) is het voorbeeld dat de kunstenaar voor de geest staat (forma est exemplat quod respicit artifex) en de navolging van dit voorbeeld stelt hem in staat een gelijkend werk te maken (ut ad eius imitionem et similitudinem formet suum artificium)’’.

De Dom van Milaan

Tijdens een bijeenkomst in 1391 werd besloten dat het centrale thema de vraag zou zijn of de kerk zou moeten verrijzen volgens het vierkant of het driehoek. Het besluit was dat ze tot de driehoekige figuur zou moeten verrijzen en niet hoger. Slechts een jaar later werd dit besluit al herroepen en maakte men een nieuw plan gebaseerd op een raster van vierkanten. Maar, inmiddels was de bouw al begonnen op basis van het eerdere besluit. De hoogte van het gebouw leek namelijk te groot te worden, waardoor men besloot om over te schakelen op een ander geometrisch patroon. Opmerkelijk is, is dat er niet voor gekozen werd om eenvoudigweg het gebouw minder hoog uit te laten voeren,  maar dat dit alleen gedaan kon worden op grond van een bestaande geometrische conceptie. Deze conceptie vond men in de Pythagoreïsche driehoek.

De Renaissance

1430 - 1630

De kunstenaar van de Renaissance probeert een metrische norm te ontlenen aan de natuurlijke verschijnselen die hem omgeven. Deze metrische norm wordt vastgelegd in getalsmatige verhoudingen, en het doorvoeren ervan is alleen mogelijk als de verhouding van elk onderdeel tot het geheel is gerelateerd aan een gemeenschappelijke maateenheid. Om in een figuur, een schilderij of een gebouw een samenhangend stelsel van numerieke verhoudingen te kunnen doorvoeren moest een speciale meetmethode worden ontwikkeld, en de maateenheid moest van geval tot geval kunnen worden aangepast.

De tijdsgeest van de Renaissance

Het Renaissance-denken was (o.a.) gericht een verzoening tot stand te brengen tussen Plato en het christendom. Men probeerde de universele harmonie van Gods schepping te interpreteren in termen van de platonische getallenleer. De kunstenaars geloofden dat deze universele harmonie in hun werk tot uitdrukking moest komen. Ontbrak deze, dan was het resultaat een verstoring van de harmonie der sferen. Renaissance-kunstenaars en -architecten geloofden in een allesomvattende (muzikale) harmonie volgens pythagoreïsch-platonische traditie.

Rekenkundige porporties

Belichaamd in de verhoudingen van de Griekse toonladder, worden rekenkundige proporties uitgedrukt in gehele getallen of eenvoudige breuken. Daarentegen kunnen veel van de proporties die zijn gebaseerd op de geometrie van de Timaeus niet in gehele getallen of eenvoudige breuken worden uitgedrukt. R. Wittkower stelt dat commensurabiliteit te beschouwen is als het kernbegrip van de renaissance-kunst. Gehele getallen en eenvoudige breuken worden door hem 'commensurabele' verhoudingen genoemd, en de geometrie van de Timaeus 'incommensurabel'. De irrationele proporties hebben de Renaissance-kunstenaars voor onoplosbare problemen gesteld, want de Renaissancistische benadering van de proportie werd bepaald door een nieuwe organisch-mathematische benadering van de natuur, waarin alle verhoudingen een numeriek (aritmische en niet geometrisch) karakter hadden.

,,Meten is een betrouwbare en ondubbelzinnige (want commensurabele) notatie van afmetingen, die evenveel inzicht verschaft in de onderlinge verhoudingen van de afzonderlijke delen, als in de verhouding van elk deel tot het geheel’’, Alberti

Het menselijke figuur

Als het gaat om het menselijke figuur, waaraan Leonardo Da Vinci veel studies wijdde, is een systeem van vaste metrische verhoudingen tussen de afzonderlijke lichaamsdelen en tussen elk deel en het geheel alleen mogelijk door een maateenheid te postuleren. De grootste kunstenaars van de vijftiende en zestiende eeuw waren eindeloos bezig met het uitwerken van deze metrische verhoudingen. Deze inspanningen waren niet alleen van theoretisch belang, ze waren ook van groot belang voor de praktijk. Men ging zover dat de maten van de modellen werden aangepast aan de ideale verhoudingen, zoals bij het portret van Karel V door Titiaan. Voor ideale proporties ging met ook te rade bij klassieke beelden. Classicistisch georiënteerde kunstenaars gaven hun modellen de proporties van deze voorbeelden en lieten ze zelfs dezelfde poses aannemen. Ruim 4 eeuwen later kwam Le Corbusier met de Modulor-schaal.

Muzikale harmonie en architectuur

Dezelfde werkwijze werd ook gevolgd op het gebied van architectuur. Hierbij wordt meestal dan ook gebruik gemaakt van de voorschriften van Vitruvius. Een zeer strikte toepassing van getalsmatige verhoudingen vind je bij de werken van Palladio. Neem de plattegrond van Villa Thiene, de vertrekken zijn gebaseerd op de reeks 12:18:36. Alberti noteerde, verwijzend naar Pythagoras: 'De getallen waarop de ramenklanken zijn gebaseerd die onze oren strelen, zijn dezelfde die ons oog en onze geeft behagen.'. Zo zegt Sir Henry Wotton poëtisch dat ‘symmetrie kan veranderen in symfonie, en een harmonie voor het oor in een harmonie voor het oog’. Alberti presenteert een rekenkundige proportieleer die is afgeleid van de harmonische intervallen van de toonladder.

17de-eeuwse mathematische uitgangspunten van Nederlandse classicistische architectuur

Arent van 's-Gravesande

De Nederlandse architecten van de 17de eeuw gebruikten een uitgewerkt systeem waarmee ze allerlei soorten gebouwen op eenvoudige wijze konden ontwerpen. Toch is het geen star en academisch principe maar het biedt zoveel mogelijkheden dat elk ontwerp een eigen karakter krijgt. Dit ontwerpsysteem vormt echt er de kern van de esthetica van de 17de-eeuwse Nederlandse architectuur. De schoonheid van het Nederlandse classicisme ligt niet in het ornament, maar in de harmonieuze proporties. Het Mauritshuis (1633) in Den Haag is een bekend voorbeeld van deze architectuur. Ornamentiek is beperkt tot de klassieke pilasterorden en ingepast in een streng mathematisch stramien dat ook door het muurwerk en de vensters wordt gevolgd. Door het werk van architecten als Jacob van Campen, Pieter Post, Philips Vingboons en Arent van 's-Gravesande zou het classicisme het gezicht van Nederland in de 17de eeuw in grote mate gaan bepalen.

Verspreiding Nederlandse classicisme

In de 17de eeuw bestond er geen opleiding tot architect, het ontwerpen van gebouwen was een specialisatie die men vanuit verschillende richtingen kon bereiken. Denk hierbij aan de teken- en schilderkunst, beeldhouwkunst, timmer- en steenhouwersambacht, landmeetkunde en vestingbouw. Kennis van mathematiek was hierbij het gezamenlijke uitgangspunt. Vanuit de vestingbouw en landmeetkunde bereikte de toepassing van de wiskunde ook de architectuur. Met name bij de stadsuitbreidingen en het uitzetten van bouwpercelen raakten deze disciplines elkaar. De humanistische idealen over de perfecte schoonheid in de architectuur bereikten Nederland omstreeks 1625 via de Italiaanse traktaten van Palladio (I Quattro libri dell' Architettura, 1570) en Scammozzi (L'Idea dell' Architettura Universale, 1615). Van beide boeken verschenen in de 17de eeuw Nederlandse vertalingen, waarbij het werk van Scamozzi een grotere belangstelling kreeg. De eerste Nederlandse architectuurtraktaten van de 17de eeuw zijn tegelijkertijd met van vestingbouw en landmeetkunde verschenen. Deze traktaten waren gepubliceerd vóór de vertalingen van Italiaanse werken, maar vooralsnog golden in beide deze boek de mathematische grondslag als uitgangspunt. De humanistische idealen komen hier minder naar voren, het is gericht op het praktische nut van een mathematische werkwijze.

Boeken

In 1617 verscheen het werk van Samuel Marolois waarin de wiskunde, en vooral de geometrie, als uitgangspunt geldt voor de perspectiefleer, architectuur en vestingbouw. De verschillende onderdelen van dit boek werden door Hondius vertaald in een Nederlandse editie gepubliceerd in 1628, Architectuur, dat is Bouwkunde. In navolging van Vitruvius en andere schrijvers van de Renaissance noemt Hondius de verschillende wetenschappen die voor de architectuur vereist zijn. Dit zijn onder andere meetkunde voor goed gebruik van de passer en waterpas, en rekenkunde voor het berekenen van de maten, kosten en symmetrie. De architect moet binnen het bouwproject voor alle zaken de juiste maat, vorm, plaats en het juiste aantal geven, in andere woorden is hij hoofdverantwoordelijke van alle bouwambachten. Architectuur wordt zo verheven tot wetenschap.

In 1631 verscheen Architectura Moderna van Salomon de Bray. Dit bestond uit een verzameling met de voornaamste ontwerpen van Hendrick de Keijser, Jacob van Campen en anderen. De Bray benoemde in het voorwoord dat de ware bouwkunst alleen op basis van gedegen kennis van mathematiek mogelijk is. Tot slot gaf hij ook aan op welke wijze de ontwerpen bestudeerd moesten worden, namelijk door na te meten en de maatverhoudingen te beproeven.

In 1648 verscheen Afbeelsels der voornaemste Gebouwen van Philips Vingboons. Hierin bundelde hij een grote hoeveelheid van zijn eigen al dan niet uitgevoerde ontwerpen. Hij presenteerde deze in zijn inleiding als goede voorbeelden van 'ware bouwkunst'. Welke methodiek hij gebruikte om tot zulke ontwerpen te komen komt niet ter sprake, niet omdat hij dat als beroepsgeheim wilde bewaren, maar omdat de mathematische ontwerpsystemen toen zo algemeen bekend waren dat daar geen verdere uitleg bij nodig was. Hij publiceerde achterin dit boek het ontwerp van een ideale villa met bijbehorende tuin. Deze villa is een massief vierkant bouwblok. Het heeft vier vrijwel identieke gevels, geheel in baksteen uitgevoerd met aan iedere zijde een risaliet. Deze villa en het terrein eromheen zijn een voorbeeld van de toepassing van eenvoudige maatverhoudingen. Alle muren zijn langs de lijnen van het ontwerpschema gelegd, maar er is geen rekening gehouden met de dikte van de muren zelf. Hierdoor worden de verhoudingen slechts benaderd, in plaats van het exact bereiken ervan. Er ligt een helder, ruimtelijk doordacht maatstelsel waarbij alle ornamentiek verder achterwege gelaten is. Dit werk wordt benoemd als 'driedimensionaal harmoniemodel dat de essentie van het classicisme illustreert, namelijk dat de schoonheid van de architectuur bepaald wordt door de zuivere proporties en dat de ornamenten slechts een toegevoegde schoonheid zijn'.

Kasteel Amerongen

In de praktijk

Kasteel Amerongen (1674), Paleis het Loo (1685) en Kasteel Middachten (1695) zijn bekende voorbeelden van het ontwerpen in kubische eenvoud. Zulke ruimtelijk modellen zijn in de 17de verder zelden zo consequent toegepast. Bij het ontwerpen van vrijstaande huizen lieten architecten zich eerder leiden de wens voor wooncomfort van hun klanten. In een rechthoekige plattegrond zijn ruimtes eenvoudiger te plaatsen. Ook wanneer het ontwerp niet uit kubussen is samengesteld, bleven architecten voor de gevels met vierkanten werken. Van samenhang tussen de plattegronden en de gevels is dan uiteraard geen sprake meer.

Kasteel Middachten

Het realiseren van een abstract matenstelsel was bij het ontwerpen van stadswoonhuizen dus onderschikt aan het belang van een bruikbare indeling van de beschikbare ruimte. Het werken met afgewogen maatverhoudingen beperkte zich bij stadshuizen daarom alleen tot de voorgevels. Alleen bij grote huizen is enige samenhang tussen de gevel en de plattegrond. Voor woonhuisgevels bestonden min of meer standaard maatverhoudingen. Het werk van Vingboons toont aan dat bij er bij hoogtematen vaste standaard hoogtematen gebruikt zijn. Hierbij doet het er niet toe of een gevel wel of geen ornamenten, pilasters of barokke versieringen heeft. Ook de 'vrije' en 'luchtige' gevels bevatten een helder proportiessysteem.

Standaard-ontwerpsystemen

Uit Vingsboons werken zijn zulke standaard-ontwerpsystemen te ontdekken die hij heeft gehanteerd.

- Gevels van 25 x 50 voet (1:2), gemeten vanaf de straat en exclusief te geveltop daarboven.

Paleis het Loo

- Gevels van 30 voet breed krijgen een basis van 5 voet, en krijgen vanaf die basis een hoogte van 50 voet. Zo'n gevel krijg een top van 10 x 10 voet exclusief de bekroning.

- Gevels van 40 voet breed krijgen een basis van 6 à 8 voet, en krijgen vanaf die basis een hoogte van 40 voet tot aan de dakgoot (1:1), die bij deze gevels evenwijdig aan de straat is. De risaliet kan variëren, bijvoorbeeld van 20 of 24 voet breed.

- Gevels van 50 voet breed hebben een basis van 10 of 12 voet, en krijgen vanaf die basis een hoogte van 36 voet tot aan het dak. De risaliet kan bijvoorbeeld 30 voet breed zijn. De hoogte van de verdiepingen meet tot aan het hoofdgestel 30 voet, zodat het risaliet gezien kan worden als een vierkant va 30 x 30 voet. Door de gehele lengte van het diagonaal hiervan naar beneden uit te slaan wordt de basis-hoogte van 12 voet geconstrueerd, en door de helft van het diagonaal naar boven te trekken vindt je op deze wijze de hoogte van 6 voet van het hoofdgestel.

Met het toepassen van zulke schema's zijn in de decoratieve afwerking eindeloze variaties mogelijk. Hierbij kon gekozen worden uit pilasters, vrije ornamenten, natuurstenen elementen of en gehele baksteengevel. Wanneer er pilasters werden toegepast, werd het ontwerpschema hiermee verder ingevuld. De maatvoering van de pilasterorden is door Italiaanse traktaatschrijvers aan strikte regels onderworpen.  Het was dus niet altijd mogelijk om deze proportionering van de traktaten daadwerkelijk in het mathematische schema van het ontwerp te laten passen. Alleen bij brede gevels vanaf 50 voet was hiervoor voldoende ruimte. In smallere gevels werden de traktaten van detaillering wel gevolgd, maar de pilasters werden ingekort of uitgerekt om het in het basisontwerp te laten passen.

Het ideaalbeeld

In het eerste decennia van de 17de eeuw was alle aandacht gericht op uitbundige en fantasievolle geveldecoraties met renaissance-ornamenten. Omstreeks 1620 ontwikkelden enkele kunstenaars uit Haarlem, o.a. Jacob van Campen en Salomon de Bray, een andere bouwstijl. Deze stijl was geïnspireerd op het Noord-Italiaanse classicisme van Palladio en Scamozzi. Vooral Constantijn Huygens en zijn kring waren rond 1630 de voorstander en stimulator van deze classicistische architectuuridealen.

Classicistische architecten in Nederland hadden het ideaal voor een eenvoudig, alomvattend maatsysteem waaraan de ordening van zowel de gevels als de plattegrond zijn onderworpen. De gevelindeling moet hiermee weerspiegelen wat de verhouding is van de ruimtes erachter. De ideale situatie van zo'n proportiestelsel is een ruimtelijk, driedimensionaal systeem, samengesteld uit een aantal grote kubussen. Maar in de bouwpraktijk kwam een dergelijke situatie vrijwel niet voor. Bij de bouw van huizen hadden praktische eisen voorrang boven een theoretisch ideaal. De schaal en de consequente doorvoering van het maatsysteem van de 'ideale' villa van Vingboons overstijgen de realiteit van de 17de-eeuwse bouwpraktijk, maar dezelfde principes zijn echter wel terug te vinden in gebouwen uit dezelfde tijd. In monumentale, vrijstaande gebouwen is dat meer vanzelfsprekend dan bij stadswoonhuizen. De architect moest bij het ontwerpen van de stadswoonhuizen namelijk de harmonische maatvoering beperken tot enkel de voorgevel.

Pieter Post ontwierp in 1656 het stadshuis van Maastricht, en toont hoe het ideaal van een vrijstaand monumentaal gebouw kon worden gerealiseerd waarbij zowel plattegrond als gevelindeling in één driedimensionaal maatsysteem zijn geordend. De plattegrond is vierkant, van 100 x 100 Rijnlandse voet. Dit lijkt samengesteld te zijn uit negen kubussen. De begane grond is 15 voet hoog, en de totale hoogte van het gebouw is samen met de bovenverdieping 33,3 voet. Naast de verdeling van 100 voet in 3 x 33,3 komt aan de voorgevel en in de plattegrond ook een verdeling voor van 25 + 50 + 25. De muren zijn langs de proportielijnen gelegd, dus de uiteindelijke afmetingen van de vertrekken zijn wegens de dikte van de muren niet gelijk aan die van het schema. De voorgevel weerspiegelt de interne ruimteverdeling. De gevel heeft een risaliet van 50 voet, en intern is hier de grote hal. De risaliet heeft langs beide zeiden wandvlakken van 25 voet, corresponderend met de vertrekken binnen. Op risaliet springt een smallere middenpartij van drie traveeën met een afmeting van 33,3 voet naar voren, gelijk aan de breedte van de onderbouw en de toren. Beide systemen samen geven de gevel de volgende indeling: 25 + 8,3 + 33,3 + 8,3 + 25 voet. Dit is hetzelfde als een verhouding van 3:1:4:1:3.

Nederlandse 17de-eeuwse ontwerpmethodes

Schielandshuis

Wanneer men op zoek gaat naar 17de-eeuwse ontwerpmethoden die in Nederland werden gehanteerd, is het van belang in acht te houden dat het vinden van mooie mathematische figuren in het ontwerp niet het doel is. Een mathematisch schema moet vooral zinvol zijn bij het bepalen van de definitieve afmetingen van een gebouw. Omgekeerd moet een achteraf gemaakt ontwerpmethode een 'sleutel' bieden voor de ordening van het gebouw: cruciale punten van het systeem moeten dan samenvallen met de hoofdlijnen van het ontwerp. Op deze wijze kan onderscheiden worden wat zin en onzin is van proportieschema's. De ontwerpmethoden zijn te achterhalen door de ontwerpen nauwkeurig na te meten. De originele tekeningen moeten hiervoor gebruikt worden, géén foto's of losse schetsen. Het gevoel van mooie maatverhoudingen was in de 17de-eeuwse Nederlandse cultuur diep geworteld. Ambachtslieden, die zich niet bewust waren van de zogezegd humanistische opvatting over proporties, konden zelfs eenvoudiger werken middels deze maatverhoudingen.

Schielandshuis van Jacob Lois

Ontwerpsysteem Schielandhuis

Een duidelijke bron voor een Nederlands 17de-eeuws ontwerpproces is uiteraard met aanwijzingen van de architect zelf. Op deze manier kan men onderzoeken zonder het risico van 'overinterpretatie'. Zo ontwierp Jacob Lois in 1662 het Schielandshuis in Rotterdam waar een proportieschema van bewaard is. De analyse van dit gebouw is onderdeel geweest van een onderzoek.Hij begint met twee tegen elkaar geplaatste vierkanten, waardoor een rechthoek ontstaat van 80 x 40 voet. De cirkels die hij tekende waren een hulpmiddel om  deze vierkanten perfect te construeren. In de tweede stap wordt de wortelverhouding aan de linkerkant getekend, waardoor er de zolderhoogte ontstaat. De diepte van de kelder eronder wordt gevonden met dezelfde wortelverhouding. In de derde stap wordt het centrale punt uitgewerkt. Hierdoor ontstaat een gevelritme van 20 - 40 - 20. De cirkel rond het centrale vierkant wordt enkel gebruikt om de hoogte van het fronton te vinden. Als laatste stap wordt de hoogte van het dak bepaald, door een gelijkzijdige driehoek te construeren. De centrale driehoek is verwezenlijkt volgens een proportioneel systeem dat in 1545 is gepubliceerd door Sebastiano Serlio. Ook de plattegrond van het Schielandshuis is ontworpen volgens een systeem. De plattegrond is een vierkant van 25 x 25 meter. De indeling van de binnenruimtes komt niet overeen met de gevel; terwijl de gevel is verdeeld in een ritme van 20 - 40 - 20, is de plattegrond verdeeld in drie traveeën in een ritme van 25 - 30 - 25. De plattegrondtekeningen vertonen per ruimte verschillende proportionele systemen. In de grote aula in het midden overlappen twee cirkels, die aangeven dat het een verhouding heeft van 2:3. Een kleinere kamer, aan de linkerkant, heeft echter een verhouding van 4:5.

Uit deze studie blijk dat dit waarschijnlijk de enige voorbeelden zijn van dergelijke geometrische systemen op basis van kruisende cirkels die in binnenruimten zijn getekend. Er is nauwelijks een geheel getal te vinden met een proportionele relatie tot het grid, aangezien de binnenmaten van de kamers veelal het resultaat waren van het grid minus de diktes van de wanden (en niet de uitgangspunten van een proportionele indeling). Maar, in dit bouwontwerp lijkt het erop dat Lois de dingen mooier presenteert dan dat ze eigenlijk waren, waarschijnlijk omdat hij kennis wou maken met de ideeën van Palladio en Scamozzi. De grote kamer aan de linkerkant is gemarkeerd met twee kruisende cirkels, wat dus suggereert dat deze ruimte een verhouding heeft van 2:3. Dit past echter niet goed in de kamer, omdat het niet op één lijn ligt met de achterwand, maar met een punt vlak voor de schoorsteen.

Door zulke studies worden algemene principes onthuld van de methode van wiskundig ontwerpen in de zeventiende-eeuw in Nederland. Er moet ten eerste een algemene omtrek van het volume of van de gevel worden gevonden. Dit moet bij voorkeur op basis gebeuren van een rechthoek die geconstrueerd is door vierkanten bij elkaar op te tellen. Deze rechthoek kan worden vergroot door volumes die zijn afgeleid van vierkantswortelverhoudingen. Zodra de hoofdlijnen zijn gedefinieerd, kunnen de klassieke proporties orden toegevoegd. Hierna kunnen de ornamenten worden toegevoegd. Om de plattegrond te ordenen wordt een grid gebruikt. Soms heeft dit te maken met de geven, maar soms ook niet. De wanden zijn getekend langs de lijnen van het grid, maar vanwege de wanddiktes is het resultaat dat de werkelijke binnenruimten nooit zo perfect kunnen zijn als het theoretisch aangegeven door het grid. Deze principes kunnen als uitgangspunt gebruikt worden, om zo andere ontwerpen uit dezelfde periode te onderzoeken.

Na de Renaissance

Met de opkomst van de nieuwe natuurwetenschap begon het wereldbeeld dat de micro- en macrokosmos bij elkaar had gehouden uiteen te vallen en was het snel gedaan met de alomvattende ordening en harmonie waarin de denkers vanaf de dagen van Pythagoras tot de zestiende en zeventiende eeuw hadden geloofd. Dit proces van 'atomisering' leidde uiteraard ook tot veranderingen op het gebied van de proportieleer.

De tijdsgeest na de Renaissance

Claude Perrault

In tegenstelling tot wat tot dan toe als algemeen wordt aangenomen, beweert Claude Perrault (1618 - 1688) dat er geen vast proportiesysteem bestaat. Hij zegt dat de proporties afhangen van de ontwerper, en dat proporties die 'de regel van de bouwkunst' volgen enkel aangenaam zijn omdat we eraan gewend zijn. Hij zegt dat niemand een overeenkomst kan vinden tussen twee gebouwen omdat niemand dezelfde regels heeft gevolgd, want men vindt in geen enkel traktaat hetzelfde, terwijl ze allemaal beweren gebaseerd te zijn op de Oudheid. Maar, het ontkennen van een vast proportiesysteem betekent ook het ondermijnen van drie vaste veronderstellingen die daarmee gepaard gaan; de analogie tussen architectuur en de harmonie in de muziek, de invloed die de verhoudingen van de natuur op de verhoudingen bij het ontstaan van de architectuur hadden uitgeoefend en de imitatie van de Oudheid. Bij gevolg verdedigt hij de relativiteit van ons esthetisch oordeel, en stelt dat muzikale consonanties niet in visuele proporties kunnen worden vertaald.

Perrault beweert dat schoonheid niet afhankelijk is van proporties en hij onderscheidt twee vormen van schoonheid, namelijk objectieve schoonheid en arbitraire schoonheid. Objectieve schoonheid wordt door iedereen als mooi ervaren; men herkent dit onmiddellijk en men wordt erdoor beroerd zoals bijvoorbeeld de grootte en de rijkheid van materialen. Arbitraire schoonheid hangt af van gewoonte, het is geen vrije of subjectieve schoonheid maar het is afhankelijk van het volk; de klasse op een bepaalde plaats of bepaalde tijd. Wat betreft ordegedachtes onderscheidt Perrault twee methodes. Bij de eerste methode verzamelen architecten de meest gewaardeerde voorbeelden uit oude en moderne werken, plaatsen deze naast elkaar zonder hier verder conclusies uit te trekken. De andere methode impliceert dat men een oordeel gaat vellen aan de hand van meningen van mensen met autoriteit. Zelf stelt hij een derde methode voor, het systeem van de Ouden. Dit is een eenvoudig verhoudingssysteem waarbinnen afwijkingen mogelijk zijn. Deze proporties zouden zo gekozen worden zodat ze makkelijk onder te verdelen en te onthouden zijn. Een latere analyse van Perraults voorstellen lijkt er op te wijzen dat hij koos voor een middenweg tussen de extreme gevallen die te vinden zijn in de geschiedenis.

De Moderniteit

De Modulor-schaal (1948) van Le Corbusier

De twee besproken proportiestelsels in de Europese kunst, het geometrische en het metrische, komen beide voort uit pythagoreïsche-platonische traditie. In de achttiende eeuw raakten deze echter in verval. Tot dan toe had niemand er ooit aan getwijfeld dat objectieve proportiemaatstaven een wezenlijk vereiste vormen voor elk kunstwerk. De 'nieuwe tijd' zou hier een verandering aan brengen.

Andere voorbeelden van een hernieuwd zoeken naar orde vallen buiten het domein van kunst. In uiteenlopende disciplines als filosofie, fysica, natuurwetenschap, wiskunde en psychologie wordt hetzelfde fundamentele probleem vanuit verschillende invalshoeken benaderd. Zo onderzoeken fysiologen bijvoorbeeld hoe zintuigprikkels in de hersenen worden geordend; de psychologen het ordenend vermogen van de hersenen; biologen, histologen en kristallograven de geometrie van dieren, planeten en kristallen. Tegelijkertijd grijpen wiskundigen, zoals Einstein, terug op het wezenlijk platonische begrip van een vooraf bepaalde harmonie.

De tijdsgeest van de Moderniteit

De negentiende-eeuwse opvatting was dat de kunstenaar volledig op zijn intuïtie af moest gaan om orde in de chaos te scheppen. Schoonheid en proportie werden in de nieuwe tijd opgevat als psychologische verschijnselen, voortkomend uit en inherent aan de geest van de kunstenaar. Voortaan werden schoonheid en proportie toegeschreven aan een irrationeel opgevatte creatieve drift.

Dit was de reactie van de kunstenaar op het nieuwe wereldbeeld dat vanaf de zeventiende eeuw zijn intrede deed: een universum, beheerst door de wetten der mechanica en ijzeren noodzaak, zonder verborgen plan, waar, in tegenstelling met alle eerdere beschavingen en voor het eerst in de geschiedenis, de mens zijn unieke en geprivilegieerde plaats was kwijtgeraakt. In de hele geschiedenis (althans van de hogere beschavingen) had zich nog nooit de situatie voorgedaan dat de keuze van een ordeningssysteem volledig aan de individuele kunstenaar werd overgelaten.

Pablo Picasso's kubistisch stier (1945)

Andere voorbeelden van een hernieuwd zoeken naar orde vallen buiten het domein van kunst. In uiteenlopende disciplines als filosofie, fysica, natuurwetenschap, wiskunde en psychologie wordt hetzelfde fundamentele probleem vanuit verschillende invalshoeken benaderd. Zo onderzoeken fysiologen bijvoorbeeld hoe zintuigprikkels in de hersenen worden geordend; de psychologen het ordenend vermogen van de hersenen; biologen, histologen en kristallograven de geometrie van dieren, planeten en kristallen. Tegelijkertijd grijpen wiskundigen, zoals Einstein, terug op het wezenlijk platonische begrip van een vooraf bepaalde harmonie.

Kubisme

De eerste kentering in de artistieke benadering van de proportie deed zich in feite al in het eerste decennium van de vorige eeuw voor in het werk van de kubisten, die de conventionele schema’s overboord zetten en wilden terugkeren naar elementaire geometrische vormen.

Modulor-schaal

Le Corbusier kwam in 1948 met het principe van de Modulor schaal. Met deze benadering ging hij niet uit van universele beginselen - maar van de mens. Op deze manier gaf hij ook weer dat er een verschuiving plaatsvond, van absolute naar relatieve maatstaven. Oudere proportiestelsels kwamen voort uit de systematische ontwikkeling van een geometrisch grondprincipe, de Modulor is anders van opzet. De basiselementen ervan zijn uiterst simpel: het vierkant en het dubbele vierkant. Deze geometrische basisvormen worden gecombineerd met twee verschillende reeksen getallen op basis van de gulden snede.

Tegelijkertijd getuigt de Modular van de sterke samenhang van ons culturele erfgoed. Net als de proporties van de Middeleeuwen, en de aritmische muzikale proporties van de Renaissance, is Le Corbusiers systeem ook een bijdrage aan inzichten die het pythagoreïsch-platonische denken voor de westerling ontsloot.